Question

【題目】如圖，長方形AOCB的頂點A（m，n）和C（p，q）在坐標軸上，已知和都是方程x+2y＝4的整數解，點B在第一象限內．

（1）求點B的坐標；

（2）若點P從點A出發沿y軸負半軸方向以1個單位每秒的速度運動，同時點Q從點C出發，沿x軸負半軸方向以2個單位每秒的速度運動，問運動到多少秒時，四邊形BPOQ面積為長方形ABCO面積的一半；

（3）如圖2，將線段AC沿x軸正方向平移得到線段BD，點E（a，b）為線段BD上任意一點，試問a+2b的值是否變化？若變化，求其范圍；若不變化，求其值．（直接寫出結論）

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（4，2）；（2）運動到1秒時，四邊形BPOQ面積為長方形ABCO面積的一半；（3）a+2b的值不變化，值為8.

【解析】

（1）根據坐標軸的性質把A,C代入方程x+2y＝4，得到非負整數解，再根據矩形的性質即可解答.

（2）設AP＝t，CQ＝2t，再根據四邊形BPOQ的面積＝矩形AOCB的面積﹣△ABP的面積﹣△BCQ的面積求出t即可解答.

（3）作EF⊥CD于F，由平移的性證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質得出CD＝AB＝4，OD＝OC+CD＝8，再根據點E的坐標為（a，b），得出OF＝a，EF＝b，DF＝8﹣a，最后利用相似三角形的判定與性質，即可解答.

（1）∵A（m，n），C（p，q），

∴m＝0，n＞0，p＞0，q＝0，

∵方程x+2y＝4的非負整數解為，

∴A（0，2），C（4，0），

∵四邊形AOCB是矩形，

∴BC＝OA＝2，AB＝OC＝4，

∴點B的坐標為（4，2）；

（2）如圖1所示：由題意得：AP＝t，CQ＝2t，

∴四邊形BPOQ的面積＝矩形AOCB的面積﹣△ABP的面積﹣△BCQ的面積＝4×2﹣×4×t﹣×2t×2＝×4×2，

解得：t＝1，

即運動到1秒時，四邊形BPOQ面積為長方形ABCO面積的一半；

（3）a+2b的值不變化，值為8，理由如下：

作EF⊥CD于F，如圖2所示：

則EF∥OA∥BC，

由平移的性質得：AC∥BD，AC＝BD，

∴四邊形ABDC是平行四邊形，

∴CD＝AB＝4，

∴OD＝OC+CD＝8，

∵點E的坐標為（a，b），

∴OF＝a，EF＝b，

∴DF＝8﹣a，

∵EF∥BC，

∴△DEF∽△DBC，

∴，

整理得：a+2b＝8．