Question

【題目】如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點C為射線DP上一點，BE平分∠ABC交線段AD于點E（不與端點A、D重合）．

（1）當∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時，求四邊形ABCD的面積；

（2）當△ABE與△BCE相似時，求線段CD的長；

（3）設CD=x，DE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域．

Answer 1

【答案】（1）16（2）當△ABE∽△EBC時，線段CD的長為2或（3）（0＜x＜4.1）

【解析】試題分析:(1) 過C作CH⊥AB與H,由∠A=90°,DP∥AB,可得得四邊形ADCH為矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2, 所以CD=AH=5-2=3,

則四邊形ABCD的面積=,

(2) 由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,當△ABE∽△EBC時,

∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.

∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,由∠ABE=∠EBC,

∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,

所以,即,解得,

(3) 延長BE交CD延長線于M,因為AB∥CD,所以∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,

在△BCH中,由勾股定理可得: ,

則DM=CM-CD= ,又因為DM∥AB,可得,即,

即可得到: .

試題解析:（1）過C作CH⊥AB與H,

由∠A=90°,DP∥AB,得四邊形ADCH為矩形,

在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,

所以CD=AH=5-2=3,

則四邊形ABCD的面積=,

（2）由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,

當△ABE∽△EBC時,

∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,

于是在△BCH中,BH=,

所以CD=AH=5-3=2.

∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,

由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,

且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.

令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,

所以,即,解得,

綜上,當△ABE∽△EBC時,線段CD的長為2或.

（3）延長BE交CD延長線于M,

由AB∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,

在△BCH中, ,

則DM=CM-CD= ,

又DM∥AB,得,即,

解得.