Question

【題目】已知拋物線y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1與x軸交于A、B兩點，若m＞1，且點A在點B的左側，OA：OB=1：3

（1）試確定拋物線的解析式；

（2）直線y=kx﹣3與拋物線交于M、N兩點，若△AMN的內心在x軸上，求k的值．

（3）設（2）中拋物線與y軸的交點為C，過點C作直線l∥x軸，將拋物線在y軸左側的部分沿直線l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象，請你結合新圖象回答：當直線y=x+b與新圖象只有一個公共點P（x0，y0）且y0≤7時，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1．

（2）k=﹣3或；

（3）當﹣1＜b≤7或b＜﹣時直線y=x+b與新圖象只有一個公共點．

【解析】試題分析：（1）設A（﹣a，0），B（3a，0），根據根與系數關系可得解方程組即可解決問題．

（2）設M（m，km﹣3），N（n，kn﹣3），顯然m、n是方程：x2﹣（k+）x+2=0的兩根，得到m+n=3k+2，mn=6，再根據直線AM，直線AN兩直線與x軸夾角相等，

即tan∠MAB=tan∠NAB，列出方程，整體代入即可求出k的值．

（3）直線y=x+b與新圖象只有一個公共點P（x0，y0）且y0≤7，所以b0≤7，又當直線y=x+b經過點C（0，﹣1）時，b=﹣1，所以當﹣1＜b≤7時，直線y=x+b與新圖象只有一個公共點，由消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0，當直線y=x+b與新圖象只有一個公共點時，方程只有相等的實數根，根據△=0，列出方程求出b，由此即可解決問題．

試題解析：（1）∵OA：OB=1：3，

∴可以假設A（﹣a，0），B（3a，0），

則有消去a得到3m2﹣16m+16=0，解得m=或4（不合題意舍棄），

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1．

（2）設M（m，km﹣3），N（n，kn﹣3），

∵點M、N在拋物線上，則M（m，m2﹣m﹣1），N（n，n2﹣n﹣1），

∴km﹣3=m2﹣m﹣1，kn﹣3=n2﹣n﹣1，

顯然m、n是方程：x2﹣（k+）x+2=0的兩根，

則m+n=3k+2，mn=6，

∵△CMN的內心在y軸上，A（﹣1，0），B（3，0），

∴直線AM，直線AN兩直線與x軸夾角相等，

∴tan∠MAB=tan∠NAB

∴，

整理得到，2kmn+K（m+n）﹣3（m+n）﹣6=0，

∴12k+k（3k+2）﹣3（3k+2）=0，

解得k=﹣3或．

（3）∵直線y=x+b與新圖象只有一個公共點P（x0，y0）且y0≤7，

∴b0≤7，

當直線y=x+b經過點C（0，﹣1）時，b=﹣1，

∴當﹣1＜b≤7時，直線y=x+b與新圖象只有一個公共點，

由消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0，

當直線y=x+b與新圖象只有一個公共點時，方程只有相等的實數根，△=0，

∴9+12+12b=0，

∴b=﹣．

∴當b＜﹣時，當直線y=x+b與新圖象只有一個公共點，

綜上所述，當﹣1＜b≤7或b＜﹣時直線y=x+b與新圖象只有一個公共點．