Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），連接BC．

（1）求該拋物線的解析式和對稱軸，并寫出線段BC的中點坐標；
（2）將線段BC先向左平移2個單位長度，再向下平移m個單位長度，使點C的對應點C1恰好落在該拋物線上，求此時點C1的坐標和m的值；
（3）若點P是該拋物線上的動點，點Q是該拋物線對稱軸上的動點，當以P，Q，B，C四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣3a（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+2 ，

∴對稱軸是x=1，

∵1+（1+1）=3，

∴B點坐標為（3，0），

∴BC的中點坐標為（1.5，1）

（2）

解：∵線段BC先向左平移2個單位長度，再向下平移m個單位長度，使點C的對應點C1恰好落在該拋物線上，

∴點C1的橫坐標為﹣2，

當x=﹣2時，y=﹣ ×（﹣2）2+ ×（﹣2）+2=﹣ ，

∴點C1的坐標為（﹣2，﹣ ），

m=2﹣（﹣ ）=5

（3）

解：①若BC為平行四邊形的一邊，

∵BC的橫坐標的差為3，

∵點Q的橫坐標為1，

∴P的橫坐標為4或﹣2，

∵P在拋物線上，

∴P的縱坐標為﹣3 ，

∴P1（4，﹣3 ），P2（﹣2，﹣3 ）；

②若BC為平行四邊形的對角線，

則BC與PQ互相平分，

∵點Q的橫坐標為1，BC的中點坐標為（1.5，1），

∴P點的橫坐標為1.5+（1.5﹣1）=2，

∴P的縱坐標為﹣ ×22+ ×2+2=2，

∴P3（2，2）．

綜上所述，點P的坐標為：P1（4，﹣3 ），P2（﹣2，﹣3 ），P3（2，2）

【解析】（1）把點A（﹣1，0）和點C（0，2）的坐標代入所給拋物線可得a、b的值，進而得到該拋物線的解析式和對稱軸，再求出點B的坐標，根據中點坐標公式求出線段BC的中點坐標即可；（2）根據平移的性質可知，點C的對應點C1的橫坐標為﹣2，再代入拋物線可求點C1的坐標，進一步得到m的值；（3）B、C為定點，可分BC為平行四邊形的一邊及對角線兩種情況探討得到點P的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．