Question

（2012•鐵嶺）如圖，點E、F、G、H分別為菱形A₁B₁C₁D₁各邊的中點，連接A₁F、B₁G、C₁H、D₁E得四邊形A₂B₂C₂D₂，以此類推得四邊形A₃B₃C₃D₃…，若菱形A₁B₁C₁D₁的面積為S，則四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為

(

1

5

)n-1S或

S

5n-1

．

Answer 1

分析：由E、F、G、H分別為菱形A₁B₁C₁D₁各邊的中點，得到A₁H=C₁F，又A₁H∥C₁F，利用一組邊長平行且相等的四邊形為平行四邊形得到四邊形A₁HC₁F為平行四邊形，根據平行線間的距離相等及平行四邊形與三角形的面積公式，可得出四邊形A₁HC₁F的面積等于△HB₁C₁面積的2倍，等于△A₁D₁F面積的2倍，而這三個的面積之和為菱形的面積S，可得出四邊形A₁HC₁F面積為菱形面積S的一半，再由平行線等分線段定理得到A₂為A₁D₂的中點，C₂為C₁B₂的中點，B₂為B₁A₂的中點，D₂為D₁C₂的中點，利用三角形的中位線定理得到HB₂=

1

2

A₁A₂，D₂F=

1

2

C₁C₂，可得出A₁A₂B₂H和C₁C₂D₂F都為梯形，且高與平行四邊形A₂B₂C₂D₂的高h相等（設高為h），下底與平行四邊形A₂B₂C₂D₂的邊A₂D₂與x相等（設A₂D₂=x），分別利用梯形的面積公式及平行四邊形的面積公式表示出各自的面積，得出三個面積之比，可得出平行四邊形A₂B₂C₂D₂的面積占三個圖形面積的

2

5

，即為四邊形A₁HC₁F面積的

2

5

，為菱形面積的

1

5

，同理得到四邊形A₃B₃C₃D₃的面積為菱形面積的（

1

5

）²，以此類推，表示出四邊形A_nB_nC_nD_n的面積即可．

解答：解：∵H為A₁B₁的中點，F為C₁D₁的中點，
∴A₁H=B₁H，C₁F=D₁F，
又A₁B₁C₁D₁為菱形，∴A₁B₁=C₁D₁，
∴A₁H=C₁F，又A₁H∥C₁F，
∴四邊形A₁HC₁F為平行四邊形，
∴S_{四邊形A1HC1F}=2S_△HB1C1=2S_△A1D1F，
又S_{四邊形A1HC1F}+S_△HB1C1+S_△A1D1F=S_{菱形A1B1C1D1}=S，
∴S_{四邊形A1HC1F}=

1

2

S，
又GD₁=B₁E，GD₁∥B₁E，
∴GB₁ED₁為平行四邊形，
∴GB₁∥ED₁，又G為A₁D₁的中點，
∴A₂為A₁D₂的中點，
同理C₂為C₁B₂的中點，B₂為B₁A₂的中點，D₂為D₁C₂的中點，
∴HB₂=

1

2

A₁A₂，D₂F=

1

2

C₁C₂，
又A₁A₂B₂H和C₁C₂D₂F都為梯形，且高與平行四邊形A₂B₂C₂D₂的高h相等（設高為h），
下底與平行四邊形A₂B₂C₂D₂的邊A₂D₂與x相等（設A₂D₂=x），
∴S_{梯形A1A2B2H}=S_{梯形C1C2D2F}=

1

2

（x+

1

2

x）h=

3

4

xh，S_{平行四邊形A2B2C2D2}=xh，
即S_{梯形A1A2B2H}：S_{梯形C1C2D2F}：S_{平行四邊形A2B2C2D2}=3：3：4，
又S_{梯形A1A2B2H}+S_{梯形C1C2D2F}+S_{平行四邊形A2B2C2D2}=S_{四邊形A1HC1F}，
∴S_{平行四邊形A2B2C2D2}=

2

5

S_{四邊形A1HC1F}=

1

5

S，
同理S_{四邊形A3B3C3D3}=（

1

5

）²S，
以此類推得四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為（

1

5

）^n-1S或

S

5n-1

．
故答案為：（

1

5

）^n-1S或

S

5n-1

．

點評：此題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定與性質，平行線等分線段定理，以及平行四邊形與三角形面積的計算，利用了轉化的數學思想，是一道規律型試題，靈活運用三角形中位線定理是解本題的關鍵．