Question

觀察下列等式：
①1-

1

2

=

1

1×2

；
②

1

2

-

1

3

=

1

2×3

；
③

1

3

-

1

4

=

1

3×4

；
④

1

4

-

1

5

=

1

4×5

；
…
（1）猜想并寫出第n個算式：

 

；
（2）請說明你寫出的等式的正確性；
（3）把上述n個算式的兩邊分別相加，會得到下面的求和公式嗎？請寫出具體的推導過程．

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

；
（4）我們規定：分子是1，分母是正整數的分數叫做單位分數．任意一個真分數都可以表示成不同的單位分數的和的形式，且有無數多種表示方法．根據上面得出的兩個結論，請將真分數

2

3

表示成不同的單位分數的和的形式．（寫出一種即可）

Answer 1

分析：從數字上很容易的猜得第n個算式，已知題目中各式相加得到（3），第（4）按照第（3）個得到．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

；（3分）

（2）左邊=

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=右邊，
即

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

．（3分）

（3）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

（過程給（3分），結論填對得2分）

（4）

2

3

=

1

2

+

1

6

=

1

2

+

1

7

+

1

42

=

1

2

+

1

7

+

1

43

+

1

1806

，等等；（寫出一個即可，3分）

點評：本題規律在于從公式到驗證，每一步相加即能消去，便得到（3）．