Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點E在邊AD上，連接BE，在BE上取點F，連接AF并延長交BD于H，且∠AFE＝60°，過C作CG∥BD，直線CG、AF交于G．

(1)求證：∠FAE＝∠EBA；

(2)求證：AH＝BE；

(3)若AE＝3，BH＝5，求線段FG的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)FG＝．

【解析】

（1）先證明兩三角形相似，再根據性質得到結果（2）先證明兩三角形相似，再根據性質得到邊的關系（3）先作輔助線，再證明兩三角形相似，再根據相似三角形性質得到結果.

解：(1)∵∠AFE＝∠BAE＝60°、∠AEF＝∠BEA，

∴△AEF∽△BEA，

∴∠FAE＝∠ABE；

(2)∵四邊形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，

∴AB＝AD、∠BAE＝∠ADB＝60°，

在△ABE和△DAH中，

∵

∴△ABE≌△DAH(ASA)，

∴AH＝BE；

(3)如圖，連接AC交BD于點P，則AC⊥BD，且AC平分BD，

∵△ABE≌△DAH，

∴AE＝DH＝3，

則BD＝BH+DH＝8，

∴BP＝PD＝4，PH＝BH﹣BP＝1，

∵AB＝BD＝8，

∴AP＝＝4，

則AC＝2AP＝8，

∵CG∥BD，且P為AC中點，

∴∠ACG＝90°，CG＝2PH＝2，

∴AG＝＝14，BE＝AH＝AG＝7，

∵△AEF∽△BEA，

∴＝，即＝，

解得：AF＝，

∴FG＝AG﹣AF＝14﹣＝．