Question

【題目】如圖，直線y1=﹣ x+2與x軸，y軸分別交于B，C，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A，B，C，點A坐標為（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點D，連接CD，點P是直線BC上方拋物線上的一動點（不與B，C重合），當點P運動到何處時，四邊形PCDB的面積最大？求出此時四邊形PCDB面積的最大值和點P坐標；
（3）在拋物線上的對稱軸上是否存在一點Q，使△QCD是以CD為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，可得y=2，

令y=0，可得x=4，

即點B（4，0），C（0，2）；

設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，

將點A、B、C的坐標代入解析式得，

，

解得： ，

即該二次函數的關系式為y=﹣ x2+ x+2；

（2）

解：如圖1，過點P作PN⊥x軸于點N，交BC于點M，過點C作CE⊥PN于E，

設M（a，﹣ a+2），P（a，﹣ a2+ a+2），

∴PM=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）=﹣ a2+2a（0≤x≤4）．

∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴點D的坐標為：（ ，0），

∵S四邊形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB= BDOC+ PMCE+ PMBN，

= + a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a），

=﹣a2+4a+ （0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2時，S四邊形PCDB的面積最大= ，

∴﹣ a2+ a+2=﹣ ×22+ ×2+2=3，

∴點P坐標為：（2，3），

∴當點P運動到（2，3）時，四邊形PCDB的面積最大，最大值為 ；

（3）

解：如圖2，∵拋物線的對稱軸是x= ．

∴OD= ．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD= ．

∵△CDQ是以CD為腰的等腰三角形，

∴CQ1=DQ2=DQ3=CD．

如圖2所示，作CE⊥對稱軸于E，

∴EQ1=ED=2，

∴DQ1=4．

∴Q1（ ，4），Q2（ ， ），Q3（ ，﹣ ）．

【解析】（1）分別令解析式y=﹣ x+2中x=0和y=0，求出點B、點C的坐標；設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，將點A、B、C的坐標代入解析式，求出a、b、c的值，進而求得解析式；（2）設出M點的坐標為（a，﹣ a+2），就可以表示出P的坐標，由四邊形PCDB的面積=S△BCD+S△CPM+S△PMB求出S與a的關系式，由二次函數的性質就可以求出結論；（3）由（2）的解析式求出頂點坐標，再由勾股定理求出CD的值，再以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于Q1 ， 以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點Q2 ， Q3 ， 作CE垂直于對稱軸與點E，由等腰三角形的性質及勾股定理就可以求出結論．
【考點精析】利用二次函數的圖象對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．