Question

【題目】已知O是AB上的一點，從O點引出射線OC、OE、OD，其中OE平分∠BOC.

（1）如圖1，若∠COD是直角，∠DOE=15°，求∠AOE的度數；

（2）如圖1，若∠AOC=∠BOD，∠DOE=15°，求∠AOE的度數；

（3）將圖1中的∠COD （∠COD仍是直角）繞頂點O順時針旋轉至圖2的位置，若∠AOC=, ∠DOE=，請猜想與之間存在什么樣的數量關系，寫出你的結論，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）105°（2）115°（3）

【解析】

（1）首先求得∠COE的度數，然后根據角平分線的定義求得∠COB的度數，再根據∠AOC=180°-∠BOC，進而得出∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解;
②設∠BOE=x,根據角平分線的性質可得∠BOC=2∠BOE=2x,又有∠BOD=∠AOC,得出∠DOE=3x-180°，進而求解;(3) 由∠DOE=,得出∠COE =90°-，然后根據角平分線的定義求得∠BOC,再利用∠AOC+∠BOC=180°即可求解.

（1）∵∠COD是直角，∠DOE=15°

∴∠COE=∠COD-∠DOE=90°-15°=75°,

∵OE平分∠BOC,

∴∠BOC=2∠COE=2×75°=150°,

∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-150°=30°,

∴∠AOE=∠AOC+∠COE=30°+75°=105°.

（2）設∠BOE=x,

∵OE平分∠BOC

∴∠BOC=2∠BOE=2x,

∵∠AOC=180°-2x,

∵∠BOD=∠AOC,

∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=∠BOE-∠AOC=x-(180°-2x)=3x-180°,

∵∠DOE=15°,

∴3x-180°=15°

∴x=60°,

∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-65°=115°;

（3）

理由如下：

∵∠COD是直角，∠DOE=,

∴∠COE=∠COD-∠DOE=90°-,

∵OE平分∠BOC,

∴∠BOC=2∠COE=2(90°-)

∵∠AOC+∠BOC=180°,

∴+2(90°-)=180°,

整理得：.