Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，它的三邊長是三個連續的正偶數，且AC＞BC.

(1)這個直角三角形的各邊長；

(2)若動點Q從點C出發，沿CA方向以1個單位長度/秒的速度運動，到達點A停止運動，請運用尺規作圖作出以點Q為圓心，QC為半徑，且與AB邊相切的圓，并求出此時點Q的運動時間.

(3) 若動點Q從點C出發，沿CA方向以1個單位長度/秒的速度運動,到達點A停止運動，以Q為圓心、QC長為半徑作圓，請探究點Q在整個運動過程中，運動時間t為怎樣的值時，⊙Q與邊AB分別有0個公共點、1個公共點和2個公共點？

Answer 1

【答案】（1）6,8,10；（2）t=3；（3）當0＜t＜3時，⊙Q與邊AB有0個公共點，

當t=3或4＜t≤8時，⊙Q與邊AB有1個公共點，

當3＜t≤4時，⊙Q與邊AB有2個公共點.

【解析】【試題分析】（1）根據直角△ABC的三邊長是三個連續的正偶數，設最短的邊為x，則另兩邊分別為x+2,x+4.根據勾股定理得：（x+4）2=x2+(x+2)2，解得x1=6,x2=-2（舍去），三邊長分別是6,8,10.

（2）設⊙Q與AB相切與點P.根據切線的性質得：∠BPQ=90°,由于∠C=90°,根據切線的判定得，BC與⊙Q 相切，根據切線長定理得，BC=BP=6，AP=4

設CQ=x，則AQ=8-x在Rt 中，利用勾股定理得：AQ2=PQ2+AP2，即(8-x)2=x2+42

解得：x=3，即t=3

（3）根據（2）的求解，依據數形結合思想,易得：當0＜t＜3時，⊙Q與邊AB有0個公共點；當t=3或4＜t≤8時，⊙Q與邊AB有1個公共點；當3＜t≤4時，⊙Q與邊AB有2個公共點.

【試題解析】

（1）設最短的邊為x，則另兩邊分別為x+2,x+4.

根據題意，得：（x+4）2=x2+(x+2)2

整理得x2-4x-12=0，解得x1=6,x2=-2（舍去）

三邊長分別是6,8,10.

（2）設⊙Q與AB相切與點P

∴∠BPQ=90°

∵∠C=90°

∴BC與⊙Q 相切

∴BC=BP=6

∴AP=4

設CQ=x，則AQ=8-x

∵AQ2=PQ2+AP2

∴(8-x)2=x2+42

∴x=3

即t=3

（3）當0＜t＜3時，⊙Q與邊AB有0個公共點，

當t=3或4＜t≤8時，⊙Q與邊AB有1個公共點，

當3＜t≤4時，⊙Q與邊AB有2個公共點.