Question

已知一次函數(shù)y=-

3

4

x+6的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求直線AE的表達(dá)式；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．
（4）若將已知條件“AE平分∠BAO，交x軸于點(diǎn)E”改變?yōu)椤包c(diǎn)E是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)O、B重合）”，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F．設(shè)OE=x，BF=y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

（1）對(duì)于y=-

3

4

x+6，
當(dāng)x=0時(shí)，y=6；當(dāng)y=0時(shí)，x=8，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=10，
則A（0，6），B（8，0）；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G（如圖1所示），
∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，
∴EG=OE，
在Rt△AOE和Rt△AGE中，

AE=AE EO=EG

，
∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AO，
設(shè)OE=EG=x，則有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4，
在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x，
根據(jù)勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴E（3，0），
設(shè)直線AE的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
將A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得：

b=6 3k+b=0

，
解得：

b=6 k=-2

，
則直線AE的表達(dá)式為y=-2x+6；

（3）延長(zhǎng)BF交y軸于點(diǎn)K（如圖2所示），
∵AE平分∠BAO，
∴∠KAF=∠BAF，
又BF⊥AE，
∴∠AFK=∠AFB=90°，
在△AFK和△AFB中，
∵

∠KAF=∠BAF AF=AF ∠AFK=∠AFB

，
∴△AFK≌△AFB，
∴FK=FB，即F為KB的中點(diǎn)，
又∵△BOK為直角三角形，
∴OF=

1

2

BK=BF，
∴△OFB為等腰三角形，
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OB，垂足為H（如圖2所示），
∵OF=BF，F(xiàn)H⊥OB，
∴OH=BH=4，
∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
設(shè)F（4，y），將F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2，
∴FH=|-2|=2，
則S_△OBF=

1

2

OB•FH=

1

2

×8×2=8；

（4）在Rt△AOE中，OE=x，OA=6，
根據(jù)勾股定理得：AE=

OE2+OA2

=

x2+36

，
又BE=OB-OE=8-x，S_△ABE=

1

2

AE•BF=

1

2

BE•AO（等積法），
∴BF=

BE•AO

AE

=

6(8-x)

x2+36

（0＜x＜8），又BF=y，
則y=

6(8-x)

x2+36

（0＜x＜8）．