Question

已知二次函數圖象的頂點坐標為M（1，0），直線y=x+m與該二次函數的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．
（1）求m的值及這個二次函數的解析式；
（2）在x軸上找一點Q，使△QAB的周長最小，并求出此時Q點坐標；
（3）若P（a，0）是x軸上的一個動點，過P作x軸的垂線分別與直線AB和二次函數的圖象交于D、E兩點．
①設線段DE的長為h，當0＜a＜3時，求h與a之間的函數關系式；
②若直線AB與拋物線的對稱軸交點為N，問是否存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²，
∵點A（3，4）在拋物線上，則4=a（3-1）²，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²
∵點A（3，4）也在直線y=x+m，即4=3+m，
解得m=1；

（2）直線y=x+1與y軸的交點B的坐標為B（0，1），
B點關于x軸的對稱點B′點的坐標為B′（0，-1），
設直線AB′的解析式為y=kx+b，
將A、B′兩點坐標代入y=kx+b，
解得k=，b=-1，
∴設直線AB的解析式為y=x-1，
當A、Q、B′三點在一條直線上時，
AQ+BQ的值最小，即△QAB的周長最小，
Q點即為直線AB′與x軸的交點．
Q點坐標為

（3）①已知P點坐標為P（a，0），則E點坐標為E（a，a²-2a+1），D點坐標為D（a，a+1），
h=DE=y_D-y_E=a+1-（a²-2a+1）=-a²+3a，
∴h與a之間的函數關系式為h=-a²+3a（0＜a＜3）

②存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形
理由是∵M（1，0），
∴把x=1代入y=x+1得：y=2，
即N（1，2），
∴MN=2，
要使四邊形NMED是平行四邊形，必須DE=MN=2，
由①知DE=|-a²+3a|，
∴2=|-a²+3a|，
解得：a₁=2，a₂=1，a₃=，a₄=，
∴（2，0），（1，0）（因為和M重合，舍去）（，0），（，0）
∴P的坐標是（2，0），（，0），（，0）．
分析：（1）將A點坐標分別代入拋物線的直線，便可求出拋物線的解析式和m的值；
（2）使△QAB的周長最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B點關于x軸的對稱點B′，當A、Q、B′三點在一條直線上時，△QAB的周長最小；
（3）①根據P點坐標分別求出DE兩點坐標，便可求出h與a之間的函數關系式；
②存在，P點坐標為（，0），（，0）．
點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和三角形的性質等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．