Question

【題目】學完“證明（二）”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點M、N分別在正三角形ABC的邊BC．CA上，且BM=CN，AM、BN交于點Q。求證：∠BQM=60°。

（1）請你完成這道思考題；

（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：

①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題?

②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM＝60°？

③若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC、CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM＝60°？對②，③進行證明。（自己畫出對應的圖形）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①是；②是；③否

【解析】

試題（1）根據正三角形的性質可得AB=BC，∠ABM＝∠BCN，再結合BM=CN根據“SAS”可證得△ABM△BCN，可得∠BAM=∠CBN，即可求得結果；

（2）①仍為真命題；②易證△BAN△ACM（SAS），可得∠1＝∠2，∠N＝∠M，即可求得結果；

③易證△ABM△BCN（SAS），可得∠1＝∠2，又∠2+∠3＝90°，即得∠BQM＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°.

（1）∵正三角形ABC

∴AB=BC，∠ABM＝∠BCN

∵BM=CN

∴△ABM△BCN（SAS）

∴∠BAM=∠CBN，

∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；

（2）①仍為真命題；

②如圖：

易證△BAN△ACM（SAS）

∴∠1＝∠2，∠N＝∠M

又∠BQM＝∠N+∠QAN＝∠N+∠2＝∠M+∠2＝∠ACB＝60°；

③如圖

此時不能得到∠BQM＝60°，而有∠BQM＝90°

易證△ABM△BCN（SAS）

∴∠1＝∠2，又∠2+∠3＝90°，

∴∠BQM＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°.