Question

【題目】在正方形ABCD中，AB＝6，E為直線AB上一點，EF⊥AB交對角線AC于F，點G為AF中點，連接CE，點M為CE中點，連接BM并延長交直線AC于點O．

（1）如圖1，E在邊AB上時，＝　 　，∠GBM＝　 　；

（2）將（1）中△AEF繞A逆時針旋轉任意一銳角，其他條件不變，如圖2，（1）中結論是否任然成立？請加以證明．

（3）若BE＝2，則CO長為　 　．

Answer 1

【答案】（1），45°；（2）成立，理由見解析；（3）或3．

【解析】

（1）連結EG、GM．想辦法證明△GBM是等腰直角三角形即可解決問題．
（2）成立．延長GM到H，使得MH=GM，連接BH，HC，延長HC交AF的延長線于I，設AI交CD于J．利用全等三角形的性質證明△GBM是等腰直角三角形即可解決問題．
（3）分兩種情形①點E在線段AB上．②點E在AB的延長線上，分別求解即可解決問題．

解：（1）連結EG、GM．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，

∵EF⊥AB，

∴∠AEF＝90°，

∴∠EAF＝∠EFA＝45°，

∵AG＝GF，

∴EG⊥AF，

∴∠EGC＝90°

∵EM＝MC，

∴GM＝BM＝CE，

∴∠MCG＝∠MGC，∠MBC＝∠MCB，

∴∠BMG＝∠BME+∠GME＝2∠BMC+2∠GCM＝2∠ACB＝90°．

故△GMB為等腰直角三角形．

∴．

故答案為，45°．

（2）成立．

理由：延長GM到H，使得MH＝GM，連接BH，HC，延長HC交AF的延長線于I，設AI交CD于J．

∵EM＝MC，GM＝MH，∠EMG＝∠HMC，

∴△EMG≌△CMH（SAS），

∴EG＝CH，∠EGM＝∠MHC，

∴EC∥CH，

∴∠AGE＝∠AIH＝90°，

∵AG＝EG，

∴AG＝CH，

∵∠D＝∠I＝90°，∠AJD＝∠CJI，

∴∠ICD＝∠IAD，

∵∠BAG+∠IAD＝90°，∠BCH+∠ICF＝90°

∴∠BCH＝∠BAG，

∵BA＝BC

∴△BAG≌△BCH（SAS），

∴BG＝DH，∠ABG＝∠CBH，

∴∠∠GBH＝∠ABC＝90°

故△GBH是等腰直角三角形，

∴，∠GBM＝45°．

（3）當E在B上方時，如圖3﹣1中，延長BO交CD于T．

∴BE∥CT，

∴∠MEB＝∠MCT，

∵∠EMB＝∠CMT，EM＝CM，

∴△EMB≌△CMT（ASA），

∴BE＝CT＝2，

∵CT∥AB，

∴ ，
∵AC=6，
∴OC=×6
∴CO=
當E在B下方時同法可得CO=3．
綜上所述，OC的長為或3．
故答案為或3．