Question

【題目】閱讀下列材料，然后解決問題：

截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或將某條線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質等有關知識來解決數學問題．

如圖1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關系即可得4<ＡＥ<20 ，則2<AD<10.

（1）問題解決：受到上題解法的啟發，如圖2，在正方形ABCD中，已知：∠EAF=45°，角的兩邊AE、AF分別與BC、CD相交于點E、F，若BE=2，DF=3，求EF的長.可延長 CD到E′，使得DE′＝BE，連接AE′，先證△ABE≌△ADE′，進一步證明 △AEF≌△AE′F , 即可得EF=E′F, 那么EF=_________.

（2）問題拓展：

如圖3，在⊙O中，AB、AD是⊙O的弦，且AB=AD，M、N是⊙O上的兩點，∠MAN＝∠BAD.

①如圖4，連接MN、MD，求證：MH=BM+DH，DM⊥AN；

②若點C在（點C不與點A、D、N重合）上，連接CB、CD分別交AM、AN或其延長線于點E、F，直接寫出EF、BE、DF之間的等式關系.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）①見解析，②EF＝BE+DF或DF＝EF+BE

【解析】

（1）根據題目給定的思路進行求解即可；

（2）①延長MD到點M′，使得DM′=BM，連接AM′，如圖5．仿照材料中的證明思路可證到AM=AM′，∠MAN=∠M′AN，然后利用等腰三角形的性質即可解決問題．②分兩種情況討論：Ⅰ．當點C在上時，如圖1、2；Ⅱ．當點C在上時，如圖3．借鑒①中的證明思路就可得到結論．

（1）延長 CD到E′，使得DE′＝BE，連接AE′，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AB,∠B=∠ADC=90°，

∴∠AD E′=90°，

∵DE′＝BE，

∴△ABE≌△ADE′，

∴AE′=AE，∠BAE=∠DA E′

∴∠E′AE=90°,

∵∠EAF=45°，

∴∠E′AF=45°，

∴∠E′AF=∠EAF,

在△AEF和△AE′F中，

，

∴ EF=E′F，

∵E′F=DE′+DF=BE+DF=2+3=5,

∴EF=5.

（2）①延長MD到點M′，使得DM′=BM，連接AM′，如圖5．

∵∠ADM′+∠ADM=180°，∠ABM+∠ADM=180°，

∴∠ABM=∠ADM′．

在△ABM和△ADM′中，

．

∴△ABM≌△ADM′（SAS）．

∴AM=AM′∠BAM=∠DAM′．

∴∠MAM′=∠BAD．

∵∠MAN=∠BAD，

∴∠MAN=∠MAM′．

∴∠MAN=∠M′AN．

∵AM=AM′，∠MAN=∠M′AN，

∴MH=M′H，AH⊥MM′．

∴MH=M′H=DM′+DH=BM+DH，DM⊥AN．

②②Ⅰ．當點C在上時，如圖1、2．

同理可得：EF=BE+DF．

Ⅱ．當點C在上時，如圖3．

同理可得：DF＝EF+BE.．