Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)的定義如下：若P′為直線PC與⊙C的一個(gè)交點(diǎn)，滿足r≤PP′≤2r，則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P′的示意圖．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)．
①分別判斷點(diǎn)M（3，4），N（ ，0），T（1， ）關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；
②點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），DE，DF分別切⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)P在△DEF的邊上．若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)P′存在，求點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）保持（1）中D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不變，點(diǎn)P在△DEF的邊上沿E→F→D→E的方向運(yùn)動(dòng)，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為（1，0），半徑為r，請(qǐng)從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答．

問題1	問題2
若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P′存在，且P′隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長為πr，則r的最小值為 ．	若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P′不存在，則r的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：①點(diǎn)M、點(diǎn)T關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)不存在，點(diǎn)N關(guān)于⊙0的限距點(diǎn)存在，坐標(biāo)為（1，0）．

②∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，0），⊙O半徑為1，DE、DF分別切⊙O于E、F，

∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），（ ，﹣ ），如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)E（ ， ），點(diǎn)F（ ，﹣ ），

EO、FO的延長線分別交⊙O于點(diǎn)E′、F′，則E′（﹣ ，﹣ ），F(xiàn)′（﹣ ， ）．

設(shè)點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，

①當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，直線PO與⊙O的交點(diǎn)P′滿足1≤PP′≤2，故點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)存在，其橫坐標(biāo)x滿足﹣1≤x≤﹣ ．

②當(dāng)點(diǎn)P在線段DE、DF（不包括端點(diǎn)）上時(shí)，直線PO與⊙O的交點(diǎn)P′滿足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)不存在．

③當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，直線PO與⊙O的交點(diǎn)P′（1，0），滿足PP′=1，故點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)存在，其橫坐標(biāo)x=1．

綜上所述點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的范圍為﹣1≤x≤﹣ 或x=1

（2）；0＜r＜
【解析】解：（2）問題1：如圖2中，∵△DEF是等邊三角形，點(diǎn)C是△DEF的外接圓的圓心，
∵若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P′存在，且P′隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長為πr，
∴圖中△PP′C是等邊三角形，點(diǎn)P在PP′上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有限距點(diǎn)，
∵PC∥ED，
∴ = ，
∴PC= ，
由題意：r≤ ﹣r≤2r，
∴ ，
∴r的最小值為 ．
問題2：如圖2中，當(dāng)點(diǎn)H不存在限距點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P就不存在限距點(diǎn)，
∵HC= ，
∴ ﹣r＞2r，
∴r＜ ，
∴0＜r＜ 時(shí)點(diǎn)P的限距點(diǎn)不存在．
故答案分別為 ，0＜r＜ ．