Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的兩個頂點B和C在x軸上，OB=OC，AB=2BC=4．若一條拋物線的頂點為A，且過點C，動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點D運動，點P，Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．

（1）求出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；

（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積S最大？最大值為多少？

（3）在動點P，Q運動的過程中，是否存在點M，使以C，Q，E，M為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，4），y=﹣x2﹣2x+3；（2）t=2時，S的最大值為1；（3）t=20﹣8或t=．

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質可以寫出點A的坐標；由頂點A的坐標可設該拋物線的頂點式方程為y=a（x﹣1）2+4，然后將點C的坐標代入，即可求得系數a的值（利用待定系數法求拋物線的解析式）；

（2）利用待定系數法求得直線AC的方程y=﹣2x+6；由圖形與坐標變換可以求得點P的坐標（1，4﹣t），據此可以求得點E的縱坐標，將其代入直線AC方程可以求得點E或點G的橫坐標；然后結合拋物線方程、圖形與坐標變換可以求得GE=4﹣、點A到GE的距離為，C到GE的距離為2﹣；最后根據三角形的面積公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣（t﹣2）2+1，由二次函數的最值可以解得t=2時，S△ACG的最大值為1；

（3）因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形，所以點H在直線EF上．

解：（1）∵在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的兩個頂點B和C在x軸上，OB=OC，AB=2BC=4，

∴A（﹣1，4）．得C（1，0）

設拋物線解析式為y=a（x+1）2+4，把C（1，0）代入得：a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵A（﹣1，4），C（1，0），

∴可求直線AC的解析式為y=﹣2x+2．

∵點P（﹣1，4﹣t）．

∴將y=4﹣t代入y=﹣2x+2中，解得點E的橫坐標為x=﹣1+．

∴點G的橫坐標為﹣1+，代入拋物線的解析式中，可求點G的縱坐標為4﹣．

∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．

又點A到GE的距離為，C到GE的距離為2﹣，

即S=S△AEG+S△CEG=EGx +xEGx（2﹣）

=x2x（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．

當t=2時，S的最大值為1；

（3）第一種情況如圖1所示，點H在AC的上方，由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t，

根據△APE∽△ABC，知=，即=，

解得t=20﹣8；

第二種情況如圖2所示，點H在AC的下方，由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．

則在直角三角形EMQ中，根據勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，

解得，t1=，t2=4（不合題意，舍去）．

綜上所述，t=20﹣8或t=．