Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝x2+mx+m﹣1的頂點為D，交y軸于C點，交x軸于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，點A在y軸左邊，點B在y軸右邊，且AB＝4．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，AP⊥AD交拋物線于P．求點P的坐標；

（3）如圖2，點H為B，D之間拋物線上一點，直線CH交BD于E，交x軸于F，若S△CDE＝S△BEF，求H點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P(，)；（3）H為(，﹣)

【解析】

（1）由韋達定理得：x1+x2=-m，x1x2=m-1，而x2-x1=4，即：（x1+x2）2-4x1x2=16，即可求解；

（2）如下圖，利用△AEP∽△PFE即可求解；

（3）設直線CF的表達式為y=kx-3求出E、F坐標，利用由S△CDE=S△BEF，即可求解．

解：（1）由韋達定理得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣1，

而x2﹣x1＝4，即：（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，

解得：m＝﹣2，m＝6（舍去），

故函數的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3，

則：A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4）；

（2）如下圖，過A點作y軸的平行線交過P點與x的平行線與E，交過點D與x軸的平行線與F，

∵AP⊥AD，

∴∠DAF+∠AEP＝90°，∠EPA+∠EAP＝90°，

∴∠EPA＝∠DAF，

∴△AEP∽△PFE，

∴，

設P（m，m2﹣2m﹣3）

其中：PE＝m+1，AF＝4，AE＝m2﹣2m﹣3，FD＝2，代入上式，

解得：m＝，m＝﹣1（舍去），

即：P（，）；

（3）設：直線CF的表達式為y＝kx﹣3…①，

直線BD的方程為：y＝2x﹣6…②，

聯立①、②解得E（，），F（，0），

過D點做DM∥y軸，交FC于H，

S△CDE＝HMxE＝（k﹣3+4），

S△BEF＝BFyE＝（﹣3）（），

由S△CDE＝S△BEF，解得：k＝2或，

則：CF的表達式為y＝2x﹣3或y＝x﹣3…③，

將③與二次函數表達式聯立，解得：x＝或x＝0（舍去），

故點H為（，﹣）．