Question

【題目】
（1）如圖1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE= ∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ ABC）．以點B為旋轉中心，將△BEC按逆時針旋轉∠ABC，得到△BE′A（點C與點A重合，點E到點E′處）連接DE′， 求證：DE′=DE．

（2）如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE= ∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）． 求證：DE2=AD2+EC2 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠DBE= ∠ABC，

∴∠ABD+∠CBE=∠DBE= ∠ABC，

∵△ABE′由△CBE旋轉而成，

∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，

∴∠DBE′=∠DBE，

在△DBE與△DBE′中，

∵ ，

∴△DBE≌△DBE′，

∴DE′=DE

（2）證明：如圖所示：把△CBE逆時針旋轉90°，連接DE′，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠BCE=45°，

∴圖形旋轉后點C與點A重合，CE與AE′重合，

∴AE′=EC，

∴∠E′AB=∠BCE=45°，

∴∠DAE′=90°，

在Rt△ADE′中，DE′2=AE′2+AD2，

∵AE′=EC，

∴DE′2=EC2+AD2，

同（1）可得DE=DE′，

∴DE′2=AD2+EC2，

∴DE2=AD2+EC2．

【解析】（1）先根據∠DBE= ∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE= ∠ABC，再由圖形旋轉的性質可知BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，故可得出∠DBE′=∠DBE，由全等三角形的性質即可得出△DBE≌△DBE′，故可得出結論；（2）把△CBE逆時針旋轉90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知圖形旋轉后點C與點A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，所以∠DAE′=90°，由（1）證DE=DE′，再根據勾股定理即可得出結論．
【考點精析】利用勾股定理的概念和旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．