Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，圖形W在坐標軸上的投影長度定義如下：設點P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點．若|x1﹣x2|的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長度lx=M；若|y1﹣y2|的最大值為n，則圖形W在y軸上的投影長度ly=n．如圖1，圖形W在x軸上的投影長度lx=|3﹣1|=2；在y軸上的投影長度ly=|4﹣0|=4．

（1）已知點A（3，3），B（4，1）．如圖2所示，若圖形W為△OAB，則lx　 　，ly　 　．

（2）已知點C（4，0），點D在直線y=2x+6上，若圖形W為△OCD．當lx=ly時，求點D的坐標．

（3）若圖形W為函數y=x2（a≤x≤b）的圖象，其中0≤a＜b．當該圖形滿足lx=ly≤1時，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；3；（2）（﹣，）或（﹣10，﹣14）；（3）0≤a＜．

【解析】

（1）確定出點A在y軸的投影的坐標、點B在x軸上投影的坐標，于是可求得問題的答案；
（2）過點P作PD⊥x軸，垂足為P．設D（x，2x+6），則PD=2x+6．PC=4-x，然后依據lx=ly，列方程求解即可；
（3）設A（a，a2）、B（b，b2）．分別求得圖形在y軸和x軸上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根據0≤a＜b可求得a的取值范圍．

解：（1）∵A（3，3），

∴點A在y軸上的正投影的坐標為（0，3）．

∴△OAB在y軸上的投影長度ly=3．

∵B（4，1），

∴點B在x軸上的正投影的坐標為（4，0）．

∴△OAB在x軸上的投影長度lx=4．

故答案為：4；3．

（2）如圖1所示；過點P作PD⊥x軸，垂足為P．

設D（x，2x+6），則PD=2x+6．

∵PD⊥x軸，

∴P（x，0）．

∴PC=4﹣x．

∵lx=ly，

∴2x+6=4﹣x，解得；x=﹣．

∴D（﹣，）．

如圖2所示：過點D作DP⊥x軸，垂足為P．

設D（x，2x+6），則PD=﹣2x﹣6．

∵PD⊥x軸，

∴P（x，0）．

∴PC=4﹣x．

∵lx=ly，

∴﹣2x﹣6=4﹣x，解得；x=﹣10．

∴D（﹣10，﹣14）．

綜上所述，點D的坐標為（﹣，）或（﹣10，﹣14）．

（3）如圖3所示：

設A（a，a2）、B（b，b2）．則CE=b﹣a，DF=b2﹣a2=（b+a）（b﹣a）．

∵lx=ly，

∴（b+a）（b﹣a）=b﹣a，即（b+a﹣1）（b﹣a）=0．

∵b≠a，

∴b+a=1．

又∵0≤a＜b，

∴a+a＜1，

∴0≤a＜．