Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，AC，BD相交于點O．
（1）求邊AB的長；
（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F，連接EF與AC相交于點G．
①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；
②旋轉過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）①等邊三角形 ②

【解析】試題分析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴△AOB為直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD=．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

AB===2．

（2）①△AEF是等邊三角形．理由如下：

∵由（1）知，菱形邊長為2，AC=2，

∴△ABC與△ACD均為等邊三角形，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，

∴∠BAE=∠CAF．

在△ABE與△ACF中，

∵，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴AE=AF，

∴△AEF是等腰三角形，

又∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形．

②BC=2，E為四等分點，且BE＞CE，

∴CE=，BE=．

由①知△ABE≌△ACF，

∴CF=BE=．

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內角和定理），

∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內角），

∠EGA=∠CGF（對頂角）

∴∠EAC=∠GFC．

在△CAE與△CFG中，

∵，

∴△CAE∽△CFG（AA），

∴，即，

解得：CG=．