Question

【題目】如圖點 P 是等邊△ABC 內一點,將△APC 繞點 C 順時針旋轉 60°得到△BDC，連接 PD.

(1)求證：△DPC 是等邊三角形；

(2)當∠APC=150°時，試判斷△DPB 的形狀，并說明理由；

(3)當∠APB=100°且△DPB 是等腰三角形，求∠APC 的度數。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直角三角形；（3）100°或 130°或 160°.

【解析】

（1）由旋轉的性質可得：PC=DC，∠PCD=∠ACB=60°，即可得△DPC是等邊三角形；
（2）由△APC≌△BDC，可得∠BDC=∠APC=150°，由△DPC是等邊三角形，可得∠BDP=90°，可判斷△DPB的形狀是直角三角形；
（3）分三種情況討論：①PD=PB，②PD=DB，③PB=DB．

（1）如圖，

由旋轉的性質得：△APC≌△BDC，PC=DC，∠PCD=∠ACB，
∵在等邊△ABC有∠ACB=60°
∴∠PCD=60°，
∴△DPC是等邊三角形；
（2）△DPB是直角三角形．
理由：由旋轉有∠BDC=∠APC=150°，
又由（1）△DPC是等邊三角形，
∴∠PDC=60°
∴∠BDP=∠BDC-∠PDC=90°，
∴△DPB是直角三角形；
（3）設∠APC=x，則∠BPD=200°-x，∠BDP=x-60°
①若PD=PB，則（200°-x）+2（x-60°）=180°，∴x=100°；
②若PD=DB，則2（200°-x）+（x-60°）=180°，∴x=160°；
③若PB=DB，則200°-x=x-60°，∴x=130°．