Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，BC、AD是⊙O的切線，切點分別為B、A，過點O作EC⊥OD，EC交BC于點C，交AD于點E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AE=1，AD=3，求陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：作OH⊥CD，垂足為H，

∵BC、AD是⊙O的切線，

∴∠CBO=∠OAE=90°，

在△BOC和△AOE中， ，

∴△BOC≌△AOE，

∴OC=OE，

又∵EC⊥OD，

∴DE=DC，

∴∠ODC=∠ODE，

∴OH=OA，

∴CD是⊙O的切線

（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，

∴∠E=∠DOA，

又∵∠OAE=∠ODA=90°，

∴△AOE∽△ADO，

∴ = ，

∴OA2=EAAD=1×3=3，

∵OA＞0，∴OA= ，

∴tanE= = ，

∴∠DOA=∠E=60°，

∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，

∴∠DOH=∠DOA=60°，

∴S陰影部分= ×3× + ×3× ﹣ =3 ﹣π．

【解析】（1）首先作OH⊥CD，垂足為H，由BC、AD是⊙O的切線，易證得△BOC≌△AOE（ASA），繼而可得OD是CE的垂直平分線，則可判定DC=DE，即可得OD平分∠CDE，則可得OH=OA，證得CD是⊙O的切線；（2）首先證得△AOE∽△ADO，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得OA的長，然后利用三角函數的性質，求得∠DOA的度數，繼而求得答案．
【考點精析】通過靈活運用垂徑定理和扇形面積計算公式，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）即可以解答此題．