Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當∠B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）∠B=30°，證明見試題解析．

【解析】試題分析：（1）易證∠DEC=∠DFA，即可得CE∥AF，根據CE=AF可得四邊形ACEF為平行四邊形；

（2）要使得平行四邊形ACEF為菱形，則AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根據AB、AC即可求得∠B的值．

試題解析：（1）∵DE為BC的垂直平分線，

∴∠EDB=90°，BD=DC，

又∵∠ACB=90°，

∴DE∥AC，

∴E為AB的中點，

∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，

∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，

∠DEC=∠DFA，

∴AF∥CE，

又∵AF=CE，

∴四邊形ACEF為平行四邊形；

（2）要使得平行四邊形ACEF為菱形，則AC=CE即可，

∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，

又∵∠BED=∠DEC，

∴∠EAC=∠ECA，

∴AE=EC，又EB=EC，

∴AE=EC=EB，

∵CE=AB，

∴AC=AB即可，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴當∠B=30°時，AB=2AC，

故∠B=30°時，四邊形ACEF為菱形．