Question

如圖，AC是圓O的直徑，AC=10厘米，PA，PB是圓O的切線，A，B為切點，過A作AD⊥BP，交BP于D點，連結AB、BC.

（1）求證△ABC∽△ADB;
（2）若切線AP的長為12厘米，求弦AB的長.

Answer 1

(1)證明：∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90 ^o，
又∵AD⊥BP，∴∠ADB=90 ^o，∴∠ABC=∠ADB，
又∵PB是圓的切線，∴∠ABD=∠ACB，
在△ABC和△ADB中：
，∴△ABC∽△ADB;
（2）如圖，連結OP，

在Rt△AOP中，AP=12厘米,OA=5厘米,根據勾股定理求得OP=13厘米,
又由已知可證得△ABC∽△PAO, ∴,得,解得AB=厘米.

（1）根據AC為⊙O的半徑，可知：∠ABC=90°，由AD⊥BP，可知：∠ABC=∠ADB，根據切線的性質知：∠ABD=∠ACB，從而可證：△ABC∽△ADB；
（2）在Rt△POA中，根據勾股定理可將OP的長求出，再根據△ABC∽△PAO，可將AB的長求出．