Question

【題目】如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．

求證：（1）△ADA′≌△CDE；

（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°。∴∠A′DE=90°。

根據旋轉的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°。∴A′D=DE。

∵在△AD A′和△CDE中，AD=CD，∠EDC=∠A′DA=90°，A′D=DE，

∴△ADA′≌△CDE（SAS）。

（2）∵AC=A′C，∴點C在AA′的垂直平分線上。

∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠CAE=45°。

∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D。

∵在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，

∴△AEB′≌△A′ED（AAS）。∴AE=A′E。

∴點E也在AA′的垂直平分線上。∴直線CE是線段AA′的垂直平分線。

【解析】正方形的性質，旋轉的性質，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定。