Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），直線x=m（m＞2）與x軸交于點D．

（1）求二次函數的解析式；

（2）在直線x=m（m＞2）上有一點E（點E在第四象限），使得E、D、B為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似，求E點坐標（用含m的代數式表示）；

（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請求出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的解析式為y=﹣x2+3x﹣2；

（2）E點坐標為E1（m， ），E2（m，4﹣2m）；

（3）F點的坐標為：F1（，﹣），F2（4，﹣6）．

【解析】試題分析：

（1）已知拋物線經過三個點，則可設拋物線的解析式為一般式，再將三個點的坐標代入到一般式中，得到三元一次方程組即可求解；

（2）△AOC與△BDE都是直角三角形，除直角外，其它的對應關系不確定，所以應分兩類討論，由相似三角形的對應邊成比例求出E點的坐標；

（3）A，B是兩個確定的點，E點的坐標中含有m也可看作是確定的點，則可根據三個點的坐標，確定第四個點F的坐標，而點F在拋物線上，把F點的坐標代入到拋物線中得到關于m的方程，則可求出點F的坐標.

解：（1）將點A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入二次函數y=ax2+bx+c中，得

解得a=﹣1，b=3，c=﹣2．

∴y=﹣x2+3x﹣2．（2分）

（2）∵AO=1，CO=2，BD=m﹣2，

當△EDB∽△AOC時，得=，

即=，解得ED=，

∵點E在第四象限，

∴E1（m，），

當△BDE∽△AOC時， =時，即=，

解得ED=2m﹣4，

∵點E在第四象限，

∴E2（m，4﹣2m）；

所以有E1（m，），E2（m，4﹣2m）.

（3）假設拋物線上存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，則

EF=AB=1，點F的橫坐標為m﹣1，

當點E1的坐標為（m，）時，點F1的坐標為（m﹣1，），

∵點F1在拋物線的圖象上，

∴=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴2m2﹣11m+14=0，

∴（2m﹣7）（m﹣2）=0，

∴m=，m=2（舍去），

∴F1（，﹣），

當點E2的坐標為（m，4﹣2m）時，點F2的坐標為（m﹣1，4﹣2m），

∵點F2在拋物線的圖象上，

∴4﹣2m=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴m2﹣7m+10=0，

∴（m﹣2）（m﹣5）=0，∴m=2（舍去），m=5，

∴F2（4，﹣6）．

所以F1（，﹣），F2（4，﹣6）．