Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點B作射線BB1∥AC．動點D從點A出發沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H，過點E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點，連接DG．設點D運動的時間為t秒．

（1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；
（2）當△DEG與△ACB相似時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= =5．

∵AD=5t，CE=3t， ∴當AD=AB時，5t=5，即t=1；

∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1

（2）解：∵EF=BC=4，G是EF的中點，

∴GE=2．

當AD＜AE（即t＜ ）時，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，

若△DEG與△ACB相似，則 或 ，

∴ 或 ，

∴t= 或t= ；

當AD＞AE（即t＞ ）時，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，

若△DEG與△ACB相似，則 或 ， ∴ 或 ，

解得t= 或t= ；

綜上所述，當t= 或 或 或 時，△DEG與△ACB相似

【解析】（1）先根據勾股定理求出AB的長，再根據點D的運動速度及AD=AB，求出t的值，然后根據點E的運動速度求出AE的長，從而可求出DE的長。
（2）根據EF=BC=4，G是EF的中點，求出GE的長，要證明△DEG與△ACB，分兩種情況：DE:EG=BC:AC或DE:EG=AC:BC，根據這些線段成比例，即可求出t的值（注意點D的運動過程中，要分兩種情況：AD＜AE和AD＞AE）。