Question

【題目】如圖，C為線段AE上一動點(不與A、E重合)，在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ，以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.其中完全正確的是___________.

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】試題解析：①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點A，C，E在同一條直線上，

∴AC=BC,EC=DC,∠BCE=∠ACD=

∴△ACD≌△ECB

∴AD=BE，故本選項正確；

②∵△ACD≌△ECB

∴∠CBQ=∠CAP，

又∵∠PCQ=∠ACB=CB=AC，

∴△BCQ≌△ACP，

∴CQ=CP,又∠PCQ=

∴△PCQ為等邊三角形，

∴∠QPC==∠ACB，

∴PQ∥AE，故本選項正確；

③∵∠ACB=∠DCE=

∴∠BCD=

∴∠ACP=∠BCQ，

∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，

∴△ACP≌△BCQ(ASA)，

∴CP=CQ，AP=BQ，故本選項正確；

④已知△ABC、△DCE為正三角形，

故∠DCE=∠BCA=∠DCB=

又因為∠DPC=∠DAC+∠BCA,∠BCA=60∠DPC>

故DP不等于DE，故本選項錯誤；

⑤∵△ABC、△DCE為正三角形，

∴∠ACB=∠DCE=AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠CAD=∠CBE，

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，

∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=

∴∠AOB=

故本選項正確.

綜上所述，正確的結論是①②③⑤.

故答案為：①②③⑤.