Question

【題目】已知直線y1＝x﹣5與雙曲線y2＝﹣．

（1）求證：無論p取何值時，兩個函數的圖象恒有兩個交點；

（2）設兩個交點分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），且滿足x12+x22＝3x1x2，求實數p的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）p＝±1

【解析】

（1）根據兩個函數解析式，得到方程x2﹣5x+6﹣p2＝0，求根的判別式△，當△＞0時，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）根據根與系的關系求出兩根和與兩根積，再把x12+x22＝3x1x2變形，化成和與乘積的形式，代入計算，得到一個關于p的一元二次方程，解方程即可．

解：（1）聯立方程組，

可得x2﹣5x+6﹣p2＝0，

∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝25﹣24+4p2＝1+4p2，

∵無論p取何值時，總有4p2≥0，

∴△＝1+4p2＞0，

∴無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）∵x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，

又∵x12+x22＝3x1x2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3x1x2，

∴52＝5（6﹣p2），

解得p＝±1，

∴實數p的值為±1．