Question

【題目】閱讀下列材料，解決提出的問題：

最短路徑問題:如圖（1），點A，B分別是直線l異側的兩個點，如何在直線l上找到一個點C，使得點C到點A，點B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點，可知這個交點即為所求．

如圖（2），如果點A，B分別是直線l同側的兩個點，如何在l上找到一個點C，使得這個點到點A、點B的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質，作出點B關于的對稱點B，這時對于直線l上的任一點C，都保持CB＝CB，從而把問題（2）變為問題（1）．因此，線段AB與直線l的交點C的位置即為所求．

為了說明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′．因為AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．

任務：

數學思考

（1）材料中劃線部分的依據是　 　．

（2）材料中解決圖（2）所示問題體現的數學思想是　 　．（填字母代號即可）

A．轉化思想

B．分類討論思想

C．整體思想

遷移應用

（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，點P為C邊上的動點，點D為AB邊上的動點，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為　 　cm．

Answer 1

【答案】（1）兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；（2）A；（3）4

【解析】

（1）依據是兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；

（2）材料中解決圖（2）所示問題體現的數學思想是轉化的思想；

（3）如圖（3）中，作點B關于點C的對稱點B′，連接AB′．作BH⊥AB′于H．作點D關于AC的對稱點D′，則PD＝PD′，推出PB+PD＝PB+PD′，根據垂線段最短可知，當點D′與H重合，B，P，D′共線時，PB+PD的最小值＝線段BH的長；

（1）材料中劃線部分的依據是兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；

故答案為：兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；

（2）材料中解決圖（2）所示問題體現的數學思想是轉化的思想，

故答案為A．

（3）如圖（3）中，作點B關于點C的對稱點B′，連接AB′．作BH⊥AB′于H．

作點D關于AC的對稱點D′，則PD＝PD′，

∴PB+PD＝PB+PD′，

根據垂線段最短可知，當點D′與H重合，B，P，D′共線時，PB+PD的最小值＝線段BH的長，

∵BC＝CB′，AC⊥BB′，

∴AB＝AB′，

∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，

∴∠BAH＝30°，

在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，

∴BH＝AB＝4cm，

∴PB+PD的最小值為4cm．

故答案為4．