Question

【題目】如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE，CG．

（1）求證：AE=CG；
（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，

又∵∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，

∴△ADE≌△CDG（SAS）．

∴AE=CG．

（2）猜想：AE⊥CG．

證明：如圖，設AE與CG交點為M，AD與CG交點為N．

∵△ADE≌△CDG，

∴∠DAE=∠DCG．

又∵∠ANM=∠CND，

∴△AMN∽△CDN．

∴∠AMN=∠ADC=90°．

∴AE⊥CG

【解析】（1）首先依據正方形的性質得到AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，然后再依據等式的性質證明∠CDG=∠ADE，接下來，依據SAS可證明△ADE≌△CDG，從而可得到AE=CG；
（2）由全等三角形的性質可得到∠DAE=∠DCG，然后可證明△AMN∽△CDN，最后，依據相似三角形對應角相等可得到∠AMN=∠ADC=90°．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．