Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，圓心為P（x，y）的動圓經過點A（1，2）且與x軸相切于點B．

（1）當x=2時，求⊙P的半徑；

（2）求y關于x的函數解析式；判斷此函數圖象的形狀；并在圖②中畫出此函數的圖象；

（3）當⊙P的半徑為1時，若⊙P與以上（2）中所得函數圖象相交于點C、D，其中交點D（m，n）在點C的右側，請利用圖②，求cos∠APD的大小．

Answer 1

【答案】（1）圓P的半徑為；（2）畫出函數圖象，如圖②所示；見解析；（3）cos∠APD==.

【解析】

（1）由題意得到AP=PB，求出y的值，即為圓P的半徑；
（2）利用兩點間的距離公式，根據AP=PB，確定出y關于x的函數解析式，畫出函數圖象即可；
（3）畫出相應圖形，求出m的值，進而確定出所求角的余弦值即可．

（1）由x=2，得到P（2，y），連接AP，PB，

∵圓P與x軸相切，∴PB⊥x軸，即PB=y，

由AP=PB，得到 ，解得：y=，則圓P的半徑為

（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，

整理得：

圖象為開口向上的拋物線，

畫出函數圖象，如圖②所示；

（3）連接CD，連接AP并延長，交x軸于點F，

設PE=a，則有EF=a+1，ED= ，∴D坐標為（1+，a+1），

代入拋物線解析式得：，解得：或（舍去），

即PE=，在Rt△PED中，PE=，PD=1，

則cos∠APD==.