Question

如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為軸、軸建立平面直角坐標系（O、C、F三點在x軸正半軸上）.若⊙P過A、B、E三點(圓心在軸上)，拋物線經過A、C兩點，與軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1.
小題1:求B點坐標；
小題2:求證：ME是⊙P的切線；
小題3:設直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，①求△ACQ周長的最小值；②若FQ＝，△ACQ的面積 S_△ACQ＝，直接寫出與之間的函數關系式.

Answer 1

小題1:B點坐標為（2，2）
小題2:見解析。
小題3:見解析。

解：（1）如圖甲，連接PE、PB，設PC＝

∵正方形CDEF面積為1∴CD＝CF＝1
根據圓和正方形的對稱性知OP＝PC＝
∴BC＝2PC＝2………1分
而PB＝PE，

∴
解得n=1   (舍去)     …………… 2分
∴BC＝OC＝2 ∴B點坐標為（2，2）………3分
（2）如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）
∵A，C在拋物線上∴    ∴
∴拋物線的解析式為?
即…………………………………………………………… 4分
∴拋物線的對稱軸為,即EF所在直線
∵C與G關于直線對稱， ∴CF＝FG＝1 ∴FM＝FG＝
在Rt△PEF與Rt△EMF中
＝， ∴=∴△PEF∽△EMF    …………5分
∴∠EPF＝∠FEM∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°
∴ME與⊙P相切……………………………………………………………………6分
（注：其他方法，參照給分）
（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于，連交對稱軸x=3于Q，連AQ
AQ＝Q，△ACQ周長的最小值為（AC+C）的長……………………………7分
∵A與關于直線x=3對稱∴A（0，2），（6，2）
∴C＝，
而AC=…………………8分
∴△ACQ周長的最小值為
 ……………………………9分
②當Q點在F點上方時，S＝t+1  ……10分
當Q點在線段FN上時，S＝1-t  ……11分
當Q點在N點下方時，S＝t-1   ……12分