Question

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=40°，點B為弧AN的中點，點P是直徑MN上的一個動點，則PA+PB的最小值為 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：過A作關于直線MN的對稱點A′，連接A′B，由軸對稱的性質可知A′B即為PA+PB的最小值，
連接OB，OA′，AA′，
∵AA′關于直線MN對稱，
∴ = ，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
過O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2 ，
即PA+PB的最小值2 ．
故答案為：2 ．

過A作關于直線MN的對稱點A′，連接A′B，由軸對稱的性質可知A′B即為PA+PB的最小值，由對稱的性質可知 = ，再由圓周角定理可求出∠A′ON的度數，再由勾股定理即可求解．本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，圓周角定理及勾股定理，解答此題的關鍵是根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解．