Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE ， 其中正確結論有（ ）
A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等邊三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF（故①正確）．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°（故②正確），

∵BC=CD，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．（故③正確）．

設EC=x，由勾股定理，得

EF= x，CG= x，

AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，

∴AC= ，

∴AB= ，

∴BE= ﹣x= ，

∴BE+DF= x﹣x≠ x，（故④錯誤），

∵S△CEF= x2，

S△ABE= x2，

∴2S△ABE= x2=S△CEF，（故⑤正確）．

綜上所述，正確的有4個，

故選：C．

通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE，再通過比較大小就可以得出結論．