Question

【題目】如圖，AB與⊙O相切于點C，OA，OB分別交⊙O于點D，E， =
（1）求證：OA=OB；
（2）已知AB=4 ，OA=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵AB與⊙O相切于點C

∴∠ACO=90°，

由于 = ，

∴∠AOC=∠BOC，

∴∠A=∠B

∴OA=OB，

（2）解：由（1）可知：△OAB是等腰三角形，

∴BC= AB=2 ，

∴sin∠COB= = ，

∴∠COB=60°，

∴∠B=30°，

∴OC= OB=2，

∴扇形OCE的面積為： = ，

△OCB的面積為： ×2 ×2=2

∴S陰影=2 ﹣ π

【解析】（1）連接OC，由切線的性質可知∠ACO=90°，由于 = ，所以∠AOC=∠BOC，從而可證明∠A=∠B，從而可知OA=OB；（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=2 ，從可求出扇形OCE的面積以及△OCB的面積
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及對扇形面積計算公式的理解，了解在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．