Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點B、 A，點D、E分別是AO、AB的中點，連接DE，點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；與此同時，點Q從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為.

（1）分別寫出點P和Q坐標（用含t的代數式表示）；

（2）①當點Q在BE之間運動時，設五邊形PQBOD的面積為（cm2），求y與t之間的函數關系式；

②在①的情況下，是否存在某一時刻t，使PQ分四邊形BODE兩部分的面積之比為S△PQE：S五邊形PQBOD＝1：29？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

（3）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，當t為何值時，⊙P能與△ABO的一邊相切？

Answer 1

【答案】（1）P(t，3)，Q(8－t， t)；

（2）① ②t＝2，理由見解析

（3）當t＝， ， 時，⊙P可與△ABC的一邊相切.

【解析】試題分析：（1）利用直線的解析式首先求得直線與兩坐標軸的交點坐標，然后利用三角形的中位線定理求得點P的縱坐標和點P的橫坐標即可；（2）①由P作PH⊥AB得到△PHE∽△AOB，利用相似三角形對應邊的比相等表示出PH，然后根據三角形的面積公式求解即可；②利用S△PQE：S五邊形PQBOD＝1：29列出方程求得t值即可;（3）分當⊙P與OB相切時、當⊙P與OA相切時和當⊙P與AB相切時三種情況分類討論得到答案．

試題解析：

（1）P(t，3)，Q(8－t， t)；

（2）

①如圖1，P做PH⊥AB

△PHE∽△AOB

∴

∴

S△PEQ =

S四邊形DOBE＝ ×3＝18

②×18 解得t＝－（舍），t＝2

（3）

當⊙P與OB相切時，分別過點P、Q作PF、QG垂直于x軸，垂足為F、G，再過點Q作QH⊥PF于點H，如圖2構造直角△PHQ，

此時，△BQG∽△BAO，BQ＝2t，得QG＝HF＝t，BG＝t，

在Rt△PHQ中，PH2＋HQ2＝PQ2，得(3－t)2＋(8－t－t)2＝32，

解得： t1＝4(舍)，t2＝

當⊙P與OA相切時，分別過點P、Q作PF、QG垂直于x軸，垂足為F、G，再過點Q作QH⊥PF于點H，如圖3構造直角△PHQ，此時，△BQG∽△BAO，BQ＝2t，得QG＝HF＝t，BG＝t，

在Rt△PHQ中，PH2＋HQ2＝PQ2，得(3－t)2＋(8－t－t)2＝t2，

解得： t1＝＞4(舍)，t2＝

當⊙P與AB相切時，如圖4，此時， PE＝4－t，EQ＝2t－5，

由△EPQ∽△BAO，得，∴，解得： t＝

∴當t＝， ， 時，⊙P可與△ABC的一邊相切．