Question

【題目】已知：AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上的任意一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線PD與AC交于點D．

（1）如圖1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度數；
（2）如圖2，若點P位于（1）中不同的位置，（1）的結論是否仍然成立？說明你的理由．

Answer 1

【答案】解：（1）連接OC，
∵PC是⊙O的切線，
∴OC⊥PC
∴∠OCP=90°．
∵∠CPA=30°，
∴∠COP=60°
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=15°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．
（2）∠CDP的大小不發生變化．
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OCP=90°．
∵PD是∠CPA的平分線，
∴∠APC=2∠APD．
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=2∠A，
在Rt△OCP中，∠OCP=90°，
∴∠COP+∠OPC=90°，
∴2（∠A+∠APD）=90°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．
即∠CDP的大小不發生變化．

【解析】（1）連接OC，則∠OCP=90°，根據∠CPA=30°，求得∠COP，再由OA=OC，得出∠A=∠ACO，由PD平分∠APC，即可得出∠CDP=45°．
（2）由PC是⊙O的切線，得∠OCP=90°．再根據PD是∠CPA的平分線，得∠APC=2∠APD．根據OA=OC，可得出∠A=∠ACO，即∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，則∠COP+∠OPC=90°，從而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°．所以∠CDP的大小不發生變化．