Question

【題目】已知 C 是線(xiàn)段 AB 垂直平分線(xiàn) m 上一動(dòng)點(diǎn),連接 AC,以 AC 為邊作等邊△ACD,點(diǎn) D 在直線(xiàn) AB 的上方,連接 DB 與直線(xiàn) m 交于點(diǎn) E,連接 BC

(1)如圖 1,點(diǎn) C 在線(xiàn)段 AB 上

①根據(jù)題意補(bǔ)全圖 1;

②求證:∠EAC=∠EDC;

(2)如圖 2,點(diǎn) C 在直線(xiàn) AB 的上方,0°＜∠CAB＜30°,用等式表示線(xiàn)段 BE、CE、DE 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

Answer 1

【答案】（1）①作圖見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）EB=EC+ED，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；

②只要證明CA=CD=CB，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（2）如圖2中，結(jié)論：EB=EC+ED．設(shè)CD交AE于J，在EA上取一點(diǎn)H，使得EH=ED．只要證明△ADH≌△CDE（SAS），EA=EB即可解決問(wèn)題；

（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖1，如圖所示．

②證明：∵直線(xiàn)m是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，

∴AC=BC，EA=EB，

∴∠EAC=∠EBC．

∵△ACD為等邊三角形，

∴CD=AC=BC，

∴∠EDC=∠EBC，

∴∠EAC=∠EDC．

（2）如圖2中，結(jié)論：EB=EC+ED．

理由：設(shè)CD交AE于J，在EA上取一點(diǎn)H，使得EH=ED，連接CB．

∵△ADC是等邊三角形，

∴DA=DC=AC，∠ADC=∠DCA=60°，

∵直線(xiàn)m垂直平分線(xiàn)段AB，

∴CA=CB=CD，

∴∠CDB=∠CBE，

∵EA=EB，CA=CB，

∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA，

∴∠EAC=∠EBC，

∴∠JDE=∠JAC，

∵∠DJE=∠AJC，

∴∠DEJ=∠JCA=60°，

∵ED=EH，

∴△DEH是等邊三角形，

∴∠ADJ=∠HDE，DH=DE，

∴∠ADH=∠CDE，

在△ADH和△CDE中

∵

∴△ADH≌△CDE（SAS），

∴AH=EC，

∴EA=EH+AH=DE+EC，

∵直線(xiàn)m垂直平分線(xiàn)段AB，

∴EA=EB，

∴EB=EC+ED．