Question

【題目】如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點(diǎn)與數(shù)軸上原點(diǎn)重合，兩圓在數(shù)軸上做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，小圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒π個(gè)單位，大圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2π個(gè)單位．

（1）若大圓沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，則該圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是　　；

（2）若小圓不動(dòng)，大圓沿?cái)?shù)軸來(lái)回滾動(dòng)，規(guī)定大圓向右滾動(dòng)時(shí)間記為正數(shù)，向左滾動(dòng)時(shí)間記為負(fù)數(shù)，依次滾動(dòng)的情況記錄如下（單位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8

①第幾次滾動(dòng)后，大圓離原點(diǎn)最遠(yuǎn)？

②當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，大圓運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是多少？（結(jié)果保留π）

（3）若兩圓同時(shí)在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動(dòng)，滾動(dòng)一段時(shí)間后兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距9π，求此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）﹣4π；

（2）①第6次滾動(dòng)后，大圓離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；

②當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，大圓運(yùn)動(dòng)的路程共有40π，此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是20π；

（3）18π、9π或﹣18π、﹣9π或6π、﹣3π或﹣6π、3π．

【解析】

（1）該圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值，就是大圓的周長(zhǎng)；
（2）①分別計(jì)算出第幾次滾動(dòng)后，大圓離原點(diǎn)的距離，比較作答；
②先計(jì)算總路程，因?yàn)樾�圓不動(dòng)，計(jì)算各數(shù)之和為-10，即大圓最后的落點(diǎn)為原點(diǎn)左側(cè)，向左滾動(dòng)10秒，距離為20π；
（3）分四種情況進(jìn)行討論：大圓和小圓分別在同側(cè)，異側(cè)時(shí)，表示出各自與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．根據(jù)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距9π列等式，求出即可．

解：（1）若大圓沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，則該圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是﹣2π2＝﹣4π；

（2）①第1次滾動(dòng)后，|﹣1|＝1，

第2次滾動(dòng)后，|﹣1+2|＝1，

第3次滾動(dòng)后，|﹣1+2﹣4|＝3，

第4次滾動(dòng)后，|﹣1+2﹣4﹣2|＝5，

第5次滾動(dòng)后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|＝2，

第6次滾動(dòng)后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|＝10，

則第6次滾動(dòng)后，大圓離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；

②1+2+4+3+2+8＝20，

20×2π＝40π，

﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8＝﹣10，

∴當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，大圓運(yùn)動(dòng)的路程共有40π，此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是20π；

（3）設(shè)時(shí)間為t秒，

分四種情況討論：

i）當(dāng)兩圓同向右滾動(dòng)，

由題意得：t秒時(shí)，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)：2πt，

小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為：πt，

2πt﹣πt＝9π，

2t﹣t＝9，

t＝9，

2πt＝18π，πt＝9π，

則此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)分別為18π、9π．

ii）當(dāng)兩圓同向左滾動(dòng)，

由題意得：t秒時(shí)，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)：﹣2πt，

小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)：﹣πt，

﹣πt+2πt＝9π，

﹣t+2t＝9，

t＝9，

﹣2πt＝﹣18π，﹣πt＝﹣9π，

則此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣18π、﹣9π．

iii）當(dāng)大圓向右滾動(dòng)，小圓向左滾動(dòng)時(shí)，

同理得：2πt﹣（﹣πt）＝9π，

3t＝9，

t＝3，

2πt＝6π，﹣πt＝﹣3π，

則此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)分別為6π、﹣3π．

iiii）當(dāng)大圓向左滾動(dòng)，小圓向右滾動(dòng)時(shí)，

同理得：πt﹣（﹣2πt）＝9π，

t＝3，

πt＝3π，﹣2πt＝﹣6π，

則此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣6π、3π．