Question

【題目】我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標系如圖①所示（圖②是備用圖），如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2．

（1）求C1和C2的解析式；

（2）如果炒菜時鍋的水位高度是1dm，求此時水面的直徑；

（3）如果將一個底面直徑為3dm，高度為3dm的圓柱形器皿放入炒菜鍋內蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1：y=x2﹣3（﹣3≤x≤3），拋物線C2：y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）；（2）2dm；（3）鍋蓋能正常蓋上，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）已知A、B、C、D四點坐標，利用待定系數法即可確定兩函數的解析式；
（2）炒菜鍋里的水位高度為1dm即y=-2，列方程求得x的值即可得答案；
（3）底面直徑為3dm、高度為3dm圓柱形器皿能否放入鍋內，需判斷當x=時，C1和C2中的y值的差與3比較大小，從而可得答案．

解：（1）由于拋物線C1、C2都過點A（﹣3，0）、B（3，0），可設它們的解析式為：y=a（x﹣3）（x+3）；

拋物線C1還經過D（0，﹣3），

則有：﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得：a=

即：拋物線C1：y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）；

拋物線C2還經過C（0，1），

則有：1=a（0﹣3）（0+3），解得：a=﹣

即：拋物線C2：y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）．

（2）當炒菜鍋里的水位高度為1dm時，y=﹣2，即x2﹣3=﹣2，

解得：x=±，

∴此時水面的直徑為2dm．

（3）鍋蓋能正常蓋上，理由如下：

當x=時，拋物線C1：y=×（）2﹣3=﹣，拋物線C2：y=﹣×（）2+1=，

而﹣（﹣）=3，

∴鍋蓋能正常蓋上.