Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發沿BA向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．

（1）當t為何值時，PQ∥BC．
（2）設△AQP的面積為S（單位：cm2），當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知：BP=2t，AP=10﹣2t，AQ=2t，

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

t= ，

即當t為 s時，PQ∥BC；

（2）

解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠C=90°，

過P作PD⊥AC于D，

則PD∥BC，

∴△APD∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

PD= （10﹣2t），

∴S= AQPD= 2t （10﹣2t）=﹣ t2+6t=﹣ （t﹣ ）2+7.5，

∵﹣ ＜0，開口向下，有最大值，

當t= 秒時，S的最大值是7.5cm2．

（3）

解：假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，

則S△APQ= S△ABC

即﹣ t2+6t= × ×8×6

t2﹣5t+10=0，

∵△=52﹣4×1×10=﹣15＜0，

∴此方程無解，

即不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

【解析】（1）證△APQ∽△ABC，推出 = ，代入得出 = ，求出方程的解即可（2）求出∠C=90°，過P作PD⊥AC于D，證△APD∽△ABC，代入得出方程 = ，求出PD= （10﹣2t），根據三角形的面積公式求出即可；（3）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，得出方程﹣ t2+6t= × ×8×6，求出此方程無解，即可得出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的性質的相關知識，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，以及對相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．