Question

【題目】如圖，在ABCD中 過點A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F為BE上一點，且∠AFE=∠D．

（1）求證：△ABF∽△BEC；

（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2). AF=2 .

【解析】

試題分析：（1）由平行四邊形的性質得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，證出∠C=∠AFB，即可得出結論；（2）由勾股定理求出BE，由三角函數求出AE，再由相似三角形的性質求出AF的長．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，

∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；

（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，

在Rt△ABE中，根據勾股定理得：BE=,

在Rt△ADE中，AE=ADsinD=5×=4，∵BC=AD=5，

由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2 ．