Question

【題目】如圖，已知拋物線y=-x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知B點的坐標為B（8，0）．

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸方程；

（2）連接AC、BC，試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；

（3）M為拋物線上BC之間的一點，N為線段BC上的一點，若MN∥y軸，求MN的最大值；

（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+x+4，x=3；（2）△AOC∽△COB．（3）4；（4）點Q的坐標為（3，4+）或（3，4-）或（3，0）時，△ACQ為等腰三角形時．

【解析】

試題分析：（1）把點B的坐標代入拋物線解析式求出b的值，即可得到拋物線解析式，再根據對稱軸方程列式計算即可得解；

（2）令y=0，解方程求出點A的坐標，令x=0求出y的值得到點C的坐標，再求出OA、OB、OC，然后根據對應邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似證明；

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法求出解析式，再表示出MN，然后根據二次函數的最值問題解答；

（4）利用勾股定理列式求出AC，過點C作CD⊥對稱軸于D，然后分①AC=CQ時，利用勾股定理列式求出DQ，分點Q在點D的上方和下方兩種情況求出點Q到x軸的距離，再寫出點的坐標即可；②點Q為對稱軸與x軸的交點時，AQ=CQ，再寫出點Q的坐標即可．

試題解析：（1）∵點B（8，0）在拋物線y=-x2+bx+4上，

∴-×64+8b+4=0，

解得b=，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4，

對稱軸為直線x=-=3；

（2）△AOC∽△COB．

理由如下：令y=0，則-x2+x+4=0，

即x2-6x-16=0，

解得x1=-2，x2=8，

∴點A的坐標為（-2，0），

令x=0，則y=4，

∴點C的坐標為（0，4），

∴OA=2，OB=8，OC=4，

∵=2，∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB；

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，

則，

解得，

∴直線BC的解析式為y=-x+4，

∵MN∥y軸，

∴MN=-x2+x+4-（-x+4），

=-x2+x+4+x-4，

=-x2+2x，

=-（x-4）2+4，

∴當x=4時，MN的值最大，最大值為4；

（4）由勾股定理得，AC=，

過點C作CD⊥對稱軸于D，則CD=3，

①AC=CQ時，DQ==，

點Q在點D的上方時，點Q到x軸的距離為4+，

此時點Q1（3，4+），

點Q在點D的下方時，點Q到x軸的距離為4-，

此時點Q2（3，4-），

②點Q為對稱軸與x軸的交點時，AQ=5，

CQ==5，

∴AQ=CQ，

此時，點Q3（3，0），

③當AC=AQ時，∵AC=，點A到對稱軸的距離為5，＜5，∴這種情形不存在．

綜上所述，點Q的坐標為（3，4+）或（3，4-）或（3，0）時，△ACQ為等腰三角形時．