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【題目】程大位所著《算法統宗》是一部中國傳統數學重要的著作．在《算法統宗》中記載：“平地秋千未起，踏板離地一尺．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？”【注釋】1步=5尺．
譯文：“當秋千靜止時，秋千上的踏板離地有1尺高，如將秋千的踏板往前推動兩步（10尺）時，踏板就和人一樣高，已知這個人身高是5尺．美麗的姑娘和才子們，每天都來爭蕩秋千，歡聲笑語終日不斷．好奇的能工巧匠，能算出這秋千的繩索長是多少嗎？”
如圖，假設秋千的繩索長始終保持直線狀態，OA是秋千的靜止狀態，A是踏板，CD是地面，點B是推動兩步后踏板的位置，弧AB是踏板移動的軌跡．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．設繩索長OA=OB=x尺，則可列方程為

【答案】102+（x﹣5+1）2=x2
【解析】解：設繩索長OA=OB=x尺，
由題意得，102+（x﹣5+1）2=x2 ．
故答案為：102+（x﹣5+1）2=x2 ．
設繩索有x尺長，此時繩索長，向前推出的10尺，和秋千的上端為端點，垂直地面的線可構成直角三角形，根據勾股定理列出方程．

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【題目】已知：AB是⊙O的直徑，DA、DC分別是⊙O的切線，點A、C是切點，連接DO交弧AC于點E，連接AE、CE．

（1）如圖1，求證：EA=EC；
（2）如圖2，延長DO交⊙O于點F，連接CF、BE交于點G，求證：∠CGE=2∠F；
（3）如圖3，在（2）的條件下，DE=AD，EF=2 ，求線段CG的長．

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【題目】如圖菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分別為線段AB，BC上兩點，且BM=CN，且AN，CM所在直線相交于E.

（1）證明△BCM≌△CAN；

（2）∠AEM= °；

（3）求證DE平分∠AEC；

（4）試猜想AE，CE，DE之間的數量關系并證明.

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【題目】（1）如圖1，O是等邊△ABC內一點，連接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．求：

①旋轉角是____度；

②線段OD的長為_____；

③求∠BDC的度數．

（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內一點，連接OA、OB、OC，∠A0B=135，OA=1，0B=2，求0C的長.

小明同學借用了圖1的方法，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，請你繼續用小明的思路解答，或是選擇自己的方法求解.

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，點P是與圓心C不重合的點，給出如下定義：若點P′為射線CP上一點，滿足CPCP′=r2 ，則稱點P′為點P關于⊙C的反演點．右圖為點P及其關于⊙C的反演點P′的示意圖．

（1）如圖1，當⊙O的半徑為1時，分別求出點M（1，0），N（0，2），T（，）關于⊙O的反演點M′，N′，T′的坐標；
（2）如圖2，已知點A（1，4），B（3，0），以AB為直徑的⊙G與y軸交于點C，D（點C位于點D下方），E為CD的中點．
①若點O，E關于⊙G的反演點分別為O′，E′，求∠E′O′G的大小；
②若點P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，設直線AP與x軸的交點為Q，點Q關于⊙G的反演點為Q′，請直接寫出線段GQ′的長度．