Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4）與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點F事直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F，使四邊形ABFC的面積為15？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：點A（﹣2，0）與點B關于x=1對稱，得

B（4，0）．

將A，B，C代入函數解析式，得

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+4；

（2）解：不存在點F，使四邊形ABFC的面積為15，理由如下：

如圖1

，

AC的解析式為y=﹣x+4，

設F點坐標為（m，﹣ m2+m+4），G（m，﹣m+4），

FG的長為（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，

S四邊形ABFC=S△ABC+S△ABF

= ABxC+ FG（xB﹣xA）

= ×6×4+ ×4（﹣ m2+2m）=15，

化簡，得

2m2﹣4m+3=0，

∵△=b2﹣4ac=16﹣4×2×3=﹣8＜0，

方程無解，

∴P點不存在；

（3）解：當x=1時，﹣ x2+x+4= ，即D（1， ）

當x=1時，﹣x+4=3，即E（1，3），

DE= ﹣3= ．

AC的解析式為y=﹣x+4，

設Q點坐標為（m，﹣ m2+m+4），P（m，﹣m+4），

QP的長為|（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）|=|﹣ m2+2m|．

由PQ∥DE，PQ=DE，得

|﹣ m2+2m|= ．

﹣ m2+2m= ，或）﹣ m2+2m=﹣ ，

解得m1=1舍，m2=3，m3=2+ ，m4=2﹣ ．

P點坐標為（3，1）（2+ ，2﹣ ）（2﹣ ，2+ ）．

【解析】（1）根據函數值相等的點關于對稱軸對稱，可得B點坐標，根據待定系數法，可得答案；（2）根據根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得FG的長，根據面積的和差，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案；（3）根據平行四邊形的對邊相等，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．