Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AD=4，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F，連接DF，交AC于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點N，若點F是AB的中點，則△EMN的周長是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖1，過E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，連接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
設PC=x，則PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
易證明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ=BQ= BF，
∵AB=4，F是AB的中點，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴CE= ，
Rt△DAF中，DF= =2 ，
∵DE=EF，DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF= = ，
∴PD= =3，
如圖2，

∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴ = =2，
∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG= × = ，
∵AC= =4 ，
∴CG= × = ，
∴EG= ﹣ = ，
連接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH= = ，
∴EH=EF﹣FH= ﹣ = ，
∴∠NDE=∠AEF，
∴tan∠NDE=tan∠AEF= ，
∴ = = ，
∴EN= ，
∴NH=EH﹣EN= ﹣ = ，
Rt△GNH中，GN= = = ，
由折疊得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周長=EN+MN+EM= + + = ；
所以答案是： ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形，以及對翻折變換（折疊問題）的理解，了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．