Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P從A點出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，當△PBQ存在時，求運動多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？
（3）當△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得 ，

所以該拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣3；

（2）解：設運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．

∴PB=6﹣3t．

由題意得，點C的坐標為（0，﹣3）．

在Rt△BOC中，BC= =5．

如圖1，過點Q作QH⊥AB于點H．

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC，

∴ = ，即 = ，

∴HQ= t．

∴S△PBQ= PBHQ= （6﹣3t） t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ．

當△PBQ存在時，0＜t＜2

∴當t=1時，

S△PBQ最大= ．

答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是 ；

（3）解：設直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．

把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得

，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣3．

∵點K在拋物線上．

∴設點K的坐標為（m， m2﹣ m﹣3）．

如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．則點E的坐標為（m， m﹣3）．

∴EK= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+ m．

當△PBQ的面積最大時，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ= ．

∴S△CBK= ．

S△CBK=S△CEK+S△BEK= EKm+ EK（4﹣m）

= ×4EK

=2（﹣ m2+ m）

=﹣ m2+3m．

即：﹣ m2+3m= ．

解得 m1=1，m2=3．

∴K1（1，﹣ ），K2（3，﹣ ）．

【解析】方法二：（1）略．（2）設運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t，PB=6﹣3t，

∴點C的坐標為（0，﹣3），

∵B（4，0），∴lBC：y= x﹣3，

過點Q作QH⊥AB于點H，

∴tan∠HBQ= ，∴sin∠HBQ= ，

∵BQ=t，∴HQ= t，

∴S△PBQ= PBHQ= =﹣ ，

∴當t=1時，S△PBQ最大= ．

⑶過點K作KE⊥x軸交BC于點E，

∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ= ，

∴S△CBK= ，

設E（m， m﹣3），K（m， ），

S△CBK= = =﹣ ，

∴﹣ = ，

∴m1=1，m2=3，

∴K1（1，﹣ ），K2（3，﹣ ）．