Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB＝∠AEC.

求證：(1)BD是⊙O的切線；(2)CE2＝EH·EA.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；（2）連接AC，由垂徑定理得出，即可得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例，即可得出結論.

試題解析：(1)∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，

∴∠ODB＝∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD＝90°，

∴∠ODB＋∠DBF＝90°，

∴∠ABC＋∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切線。　

(2)連接AC，

∵OF⊥BC，

∴＝，

∴∠ECB＝∠CAE，

又∵∠HEC＝∠CEA，

∴△CEH∽△AEC，

∴＝，

∴CE2＝EH·EA.